Bài 1.42 trang 31 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic (R = Rleft( x...

Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo đường cong logistic $R = R\left( x \right) = \frac{{5000}}{{1 + 5{e^{ - x}}}},x \ge 0$, trong đó thời gian $x$ được tính bằng năm. Hỏi tốc độ bán hàng đạt tối đa vào năm nào?

+ Tìm công thức $R’\left( x \right)$.

+ Tìm $x$ để $R’\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Hàm biểu thị tốc độ bán hàng là $R’\left( x \right) = \frac{{25000{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^2}}},{\rm{ x}} \ge 0$.

Tốc độ bán hàng tối đa khi $R’\left( x \right)$ đạt giá trị lớn nhất, ta cần tìm giá trị lớn nhất của $R’\left( x \right)$ trên $\left[ {0; + \infty } \right)$.

Ta có $R”\left( x \right) = - 25000 \cdot \frac{{{e^{ - x}}{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^2} + {e^{ - x}} \cdot 2\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right) \cdot 5{e^{ - x}}}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^4}}} = \frac{{25000\left( {5{e^{ - x}} - 1} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^3}}}$

Khi đó $R”\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{25000\left( {5{e^{ - x}} - 1} \right)}}{{{{\left( {1 + 5{e^{ - x}}} \right)}^3}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {5{e^{ - x}} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \ln 5$.

Lập bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra $R’$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = \ln 5 \approx 1,61$. Vậy tốc độ bán hàng đạt tối đa vào thời điểm năm thứ hai.