Bài 1.43 trang 31 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là (2000) cm3...

Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là $2000$ cm³. Các kích thước của chiếc hộp là bao nhiêu nếu muốn lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp là nhỏ nhất?

+ Đặt độ dài cạnh đáy là $x$.

+ Biểu diễn chiều cao của hộp theo $x$.

+ Suy ra công thức tính diện tích toàn phần của hộp.

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích đó.

Gọi cạnh đáy của hình hộp là $x$ cm, $x > 0$.

Do thể tích chiếc hộp là $2000$ cm³ nên chiều cao chiếc hộp là $\frac{{2000}}{{{x^2}}}$ (cm).

Suy ra, tổng diện tích bề mặt chiếc hộp là $S = 2{x^2} + 4x \cdot \frac{{2000}}{{{x^2}}} = 2{x^2} + \frac{{8000}}{x},{\rm{ }}x > 0$.

Lượng vật liệu dùng để sản xuất chiếc hộp nhỏ nhất khi tổng diện tích bề mặt chiếc hộp nhỏ nhất hay $S$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có $S’ = {\left( {2{x^2} + \frac{{8000}}{x}} \right)^\prime } = \frac{{4{x^3} - 8000}}{{{x^2}}}$ khi đó $S’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{4{x^3} - 8000}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 10\sqrt[3]{2}$.

Lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra $S$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = 10\sqrt[3]{2}$, khi đó $\frac{{2000}}{{{x^2}}} = \frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}$.

Vậy khi hộp có cạnh đáy $10\sqrt[3]{2}$ cm và chiều cao là $\frac{{20}}{{\sqrt[3]{4}}}$ cm thì lượng vật liệu dùng để sản xuất hộp nhỏ nhất.