Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng \(3\) km, một thị trấn ở điểm A cách điểm P \(12\) km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc \(2,5\) km/h và đi bộ với vận tốc \(4\) km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào trên đoạn PA để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?
+ Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn biểu diễn khoảng cách từ A đến vị trí thuyền neo đậu trên đoạn PA.
+ Biểu diễn tổng quãng đường mà người đó phải di chuyển theo x từ đó biểu diễn tổng thời gian
+ Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng thời gian đó (đưa về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn đã học).
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi \(x\) là khoảng cách từ A đến vị trí thuyền neo đậu trên đoạn PA (\(0 \le x \le 12\)).
Khi đó khoảng cách từ hòn đảo đến nơi chèo thuyền là \({\left( {12 - x} \right)^2} + 9\) (km).
Thời gian người đó đi từ hòn đảo đến thị trấn là \(T = \frac{{{{\left( {12 - x} \right)}^2} + 9}}{{2,5}} + \frac{x}{4}\) (giờ).
Thời gian ngắn nhất để người đó đi từ hòn đảo đến thị trấn là giá trị nhỏ nhất của \(T\) trên \(\left[ {0;12} \right]\).
Ta có \(T’ = - \frac{{2\left( {12 - x} \right)}}{{2,5}} + \frac{1}{4}\) khi đó \(T’ = 0 \Leftrightarrow - \frac{{2\left( {12 - x} \right)}}{{2,5}} + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{187}}{{16}}\).
Mặt khác \(T\left( 0 \right) = \frac{{306}}{5} = 61,2\); \(T\left( {12} \right) = \frac{{33}}{5} = 6,6\); \(T\left( {\frac{{187}}{{16}}} \right) = \frac{{4199}}{{640}} \approx 6.56\).
Suy ra \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = \frac{{187}}{{16}}\).
Vậy người đó cần neo thuyền tại vị trí các thị trấn \(\frac{{187}}{{16}} \approx 11,6975\) km để thời gian đi lại là ngắn nhất.