Bài 1.44 trang 31 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng (3) km...

Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng $3$ km, một thị trấn ở điểm A cách điểm P $12$ km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc $2,5$ km/h và đi bộ với vận tốc $4$ km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí nào trên đoạn PA để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?

+ Đặt ẩn và điều kiện cho ẩn biểu diễn khoảng cách từ A đến vị trí thuyền neo đậu trên đoạn PA.

+ Biểu diễn tổng quãng đường mà người đó phải di chuyển theo x từ đó biểu diễn tổng thời gian

+ Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng thời gian đó (đưa về bài toán tìm giá trị nhỏ nhất trên đoạn đã học).

Gọi $x$ là khoảng cách từ A đến vị trí thuyền neo đậu trên đoạn PA ($0 \le x \le 12$).

Khi đó khoảng cách từ hòn đảo đến nơi chèo thuyền là ${\left( {12 - x} \right)^2} + 9$ (km).

Thời gian người đó đi từ hòn đảo đến thị trấn là $T = \frac{{{{\left( {12 - x} \right)}^2} + 9}}{{2,5}} + \frac{x}{4}$ (giờ).

Thời gian ngắn nhất để người đó đi từ hòn đảo đến thị trấn là giá trị nhỏ nhất của $T$ trên $\left[ {0;12} \right]$.

Ta có $T’ = - \frac{{2\left( {12 - x} \right)}}{{2,5}} + \frac{1}{4}$ khi đó $T’ = 0 \Leftrightarrow - \frac{{2\left( {12 - x} \right)}}{{2,5}} + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{187}}{{16}}$.

Mặt khác $T\left( 0 \right) = \frac{{306}}{5} = 61,2$; $T\left( {12} \right) = \frac{{33}}{5} = 6,6$; $T\left( {\frac{{187}}{{16}}} \right) = \frac{{4199}}{{640}} \approx 6.56$.

Suy ra $T$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $x = \frac{{187}}{{16}}$.

Vậy người đó cần neo thuyền tại vị trí các thị trấn $\frac{{187}}{{16}} \approx 11,6975$ km để thời gian đi lại là ngắn nhất.