Bài 1.50 trang 33 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận P x là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên...

a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận $P\left( x \right)$ là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên.

b) Cho $C\left( x \right) = 16000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}$ là hàm chi phí và $p\left( x \right) = 1700 - 7x$ là hàm cầu. Hãy tìm mức sản xuất sẽ tối đa lợi nhuận.

Ý a: Tính hàm lợi nhuận $P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)$, tính đạo hàm và sử dụng ý nghĩa của cực đại.

Ý b: Xác định công thức hàm lợi nhuận $P\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) - C\left( x \right)$ và tìm giá trị lớn nhất.

a) Ta có hàm lợi nhuận $P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)$ trong đó $R\left( x \right)$ là doanh thu và $C\left( x \right)$ là chi phí.

Khi lợi nhuận đạt cực đại tại ${x_0}$ thì $P’\left( {{x_0}} \right) = R’\left( {{x_0}} \right) - C’\left( {{x_0}} \right) = 0$ hay $R’\left( {{x_0}} \right) = C’\left( {{x_0}} \right)$. Nói cách khác doanh thu biên bằng chi phí biên.

b) Ta có hàm lợi nhuận

$\begin{array}{l}P\left( x \right) = x \cdot p\left( x \right) - C\left( x \right) = x\left( {1700 - 7x)} \right) - \left( {16000 + 500x - 1,6{x^2} + 0,004{x^3}} \right)\ = - 16000 + 1200x - 5,4{x^2} - 0,004{x^3}\end{array}$

Suy ra $P’\left( x \right) = 1200 - 10,8x - 0,012{x^2}$ khi đó $P’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 1200 - 10,8x - 0,012{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 100$ do $x > 0$.

Lập bảng biến thiên

Vậy mức sản xuất tối đa là 100 đơn vị hàng hóa.