Cho hàm số \(y = {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Xét các mệnh đề sau:
(I): Điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(\left( {0;1} \right)\).
(II): Trục hoành là tiệm cận ngang của đồ thị \(\left( C \right)\).
(III): Giá trị lớn nhất của hàm số là 1.
(IV): Điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right)\) là \(x = 0\).
Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là
A. \(4\)
B. \(1\)
C. \(2\)
D. \(3\)
Advertisements (Quảng cáo)
+ Xét từng mệnh đề, tìm cực đại, tiệm cận, giá trị lớn nhất để biết được mệnh đề đó đúng hay sai.
Ta có \(y’ = \frac{{ - x}}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}}\) . Suy ra \(y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - x}}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).
Ta xét dấu của đạo hàm. Qua điểm \(x = 0\), đạo hàm thay đổi giá trị từ dương sang âm. Do đó \(x = 0\) là một điểm cực đại của hàm số.
Xét lần lượt các mệnh đề ta có:
+ Mệnh đề (I): Do \(x = 0\) là một điểm cực đại của hàm số nên điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( {0;1} \right)\).
Suy ra (I) đúng.
+ Mệnh đề (II): Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{{e^{\frac{{{x^2}}}{2}}}}} = 0\) suy ra \(y = 0\) hay \(Ox\) là tiệm cận ngang của \(\left( C \right)\)
Suy ra (II) đúng.
+ Mệnh đề (III): Giá trị lớn nhất của hàm số là . Suy ra (III) đúng.
+ Mệnh đề (IV): Theo mệnh đề (I) đúng ta có điểm cực đại của đồ thị hàm số là \(\left( {0;1} \right)\) chứ không phải là \(x = 0\) nên (IV) sai.
Vậy có tất cả 3 mệnh đề đúng nên ta chọn đáp án D.