Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\) nhưng có cực tiểu tại điểm \(x = 0\).
- Tìm tập xác định của hàm số
- Tính giới hạn trái, phải tại điểm \(x = 0\) của \(\frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\). So sánh hai kết quả đó với nhau, dựa vào kiến thức về định nghĩa đạo hàm tại một điểm để rút ra hàm số không có đạo hàm tại \(x = 0\) (do giới hạn trái và phải vừa tính khác nhau).
- Dùng định nghĩa về cực tiểu của hàm số để chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\).
Advertisements (Quảng cáo)
Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
Xét \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = - \infty;\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = + \infty.\)
Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} = \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}\) do đó hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{{x^2}}}\) không có đạo hàm tại \(x = 0\).
Ta có hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 0\).
Mà \(f\left( x \right) > 0{\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne 0\) suy ra \(f\left( x \right) > f\left( 0 \right){\rm{ }}\forall {\rm{x}} \ne 0\), do đó hàm số \(f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại \(x = 0\).