Bài 2.27 trang 54 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A 1;3; - 3, B 2;0;5...

Trong không gian $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A\left( {1;3; - 3} \right)$, $B\left( {2;0;5} \right)$, $C\left( {6;9; - 5} \right)$ và

$D\left( { - 1; - 4;3} \right)$.

a) Tìm tọa độ trọng tâm $I$ của tam giác $ABC$.

b) Tìm tọa độ của điểm $G$ thuộc đoạn thẳng $DI$ sao cho$DG = 3IG$.

Ý a: Từ tọa độ của A, B, C tìm được tọa độ của I theo công thức tọa độ trọng tâm.

Ý b: Từ các điều kiện trong để lập được một đẳng thức vectơ liên quan đến tọa độ chưa biết của G (có thể đặt tham số cho nó) từ đó giải các phương trình và tìm được G.

a) Ta có $I\left( {\frac{{1 + 2 + 6}}{3};\frac{{3 + 9}}{3};\frac{{ - 3 + 5 - 5}}{3}} \right) \Leftrightarrow I\left( {3;4; - 1} \right)$.

b) Giả sử $G\left( {a;b;c} \right)$. Vì $G$ thuộc đoạn $DI$ và $DG = 3IG$ nên $\overrightarrow {DG} = 3\overrightarrow {GI}$

(do $G$ nằm giữa $D,I$).

Ta có $\overrightarrow {DG} = \left( {a + 1;b + 4;c - 3} \right)$ và $\overrightarrow {GI} = \left( {3 - a;4 - b; - 1 - c} \right)$

Suy ra $\overrightarrow {DG} = 3\overrightarrow {GI} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 1 = 9 - 3a\\b + 4 = 12 - 3b\\c - 3 = - 3 - 3c\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 2\\c = 0\end{array} \right.$.

Vậy $G\left( {2;2;0} \right)$.