Bài 2.28 trang 54 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Cho tứ diện ABCD. Trọng tâm G của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức GA...

Cho tứ diện $ABCD$. Trọng tâm $G$ của tứ diện là điểm duy nhất thỏa mãn đẳng thức

$\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$. Chứng minh rằng tọa độ của điểm $G$ được cho bởi công thức:

${x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}.$

Sử dụng biến đổi tương đương, từng bước biến đổi đẳng thức ban đầu (đẳng thức về khái niệm trọng tâm của tứ diện) để dẫn đến công thức cần chứng minh.

$\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \left( \begin{array}{l}{x_A} - {x_G} + {x_B} - {x_G} + {x_C} - {x_G} + {x_D} - {x_G};{y_A} - {y_G} + {y_B} - {y_G} + {y_C} - {y_G} + {y_D} - {y_G};\\{z_A} - {z_G} + {z_B} - {z_G} + {z_C} - {z_G} + {z_D} - {z_G}\end{array} \right)\\ = \left( {{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D} - 4{x_G};{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D} - 4{y_G};{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D} - 4{z_G}} \right)\end{array}$

Ta có $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D} - 4{x_G} = 0\\{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D} - 4{y_G} = 0\\{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D} - 4{z_G} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}\end{array} \right.$

Suy ra tọa độ $G$ được xác định theo công thức ${x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C} + {x_D}}}{4};{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C} + {y_D}}}{4};$

${z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C} + {z_D}}}{4}$(điều phải chứng minh).