Bài 2.29 trang 54 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với A 3;5;2, B 0;6;2 và C 2;3;6...

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ với $A\left( {3;5;2} \right)$, $B\left( {0;6;2} \right)$ và $C\left( {2;3;6} \right)$. Hãy giải tam giác $ABC$.

Sử dụng các biến đổi, phép toán với vectơ, công thức tích vô hướng để lần lượt tìm tất cả các cạnh và các góc của tam giác.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3;1;0} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 2;4} \right)$ suy ra $AB = \sqrt {9 + 1} = \sqrt {10}$ và $AC = \sqrt {1 + 4 + 16} = \sqrt {21}$.

$\cos \widehat {BAC} = \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{AB \cdot AC}} = \frac{{3 - 2}}{{\sqrt {10} \cdot \sqrt {21} }} = \frac{1}{{\sqrt {210} }}$. Suy ra $\widehat {BAC} \approx {86,04^ \circ }$.

Ta có $\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 3;4} \right)$ và $\overrightarrow {BA} = \left( {3; - 1;0} \right)$ suy ra $BC = \sqrt {4 + 9 + 16} = \sqrt {29}$ và $AB = \sqrt {10}$.

$\cos \widehat {ABC} = \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{AB \cdot BC}} = \frac{{6 + 3}}{{\sqrt {10} \cdot \sqrt {29} }} = \frac{9}{{\sqrt {290} }}$. Suy ra $\widehat {ABC} \approx {58,096^ \circ }$.

Do đó $\widehat {BCA} \approx {39,92^ \circ }$. Vậy tam giác $ABC$ có các cạnh là $AB = \sqrt {10}$, $BC = \sqrt {29}$, $AC = \sqrt {21}$;

các góc là $\widehat {BAC} \approx {86,04^ \circ }$, $\widehat {ABC} \approx {54,04^ \circ }$, $\widehat {BCA} \approx {35,864^ \circ }$.