Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.
a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE
b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).
Hướng dẫn làm bài:
a) Ta có \(\left\{ {\matrix{{BC \bot SA} \cr {BC \bot AB} \cr} } \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\)
Vì \(AD \subset (SAB)\) nên \(AD \bot BC\)
Mặt khác \(AD \bot SB\) nên \(AD \bot (SBC)\)
Từ đó suy ra \(AD \bot SC\)
\(\left\{ {\matrix{{SC \bot AE} \cr {SC \bot AD} \cr} } \right. \Rightarrow SC \bot (ADE) \Rightarrow SC \bot DE\) hay \(SE \bot (ADE)\) .
Trong tam giác vuông SAB ta có: \(SA.AB = AD.SB \Rightarrow AD = {{AB.SA} \over {SB}} = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)
Tương tự, trong tam giác vuông SAC ta có: \(AE = {{SA.AC} \over {SC}} = {{c\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Do \(AD \bot (SBC)\) nên \(AD \bot DE\) . Từ đó suy ra:
\(DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\( = \sqrt {{{{c^2}({a^2} + {b^2})} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}}\)
\( = {{{c^2}b} \over {\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}\)
\(SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}}\)
\( = \sqrt {{c^2} - {{{c^2}({a^2} + {b^2})} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}}}\)
\( = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
Vậy \({V_{S.ADE}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}AD.DE.SE \)
\(= {1 \over 6}{{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.{{{c^2}b} \over {\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}.{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
\( = {{ab{c^5}} \over {6({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})}}\)
b) Gọi d là khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)
Ta có: \(SD = \sqrt {S{A^2} - A{D^2}} = \sqrt {{c^2} - {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)
\({V_{S.ADE}} = {V_{E.SAD}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}SD.AD.d \)
\(= {1 \over 6}{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}{{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}d \)
\(= {1 \over 6}{{a{c^3}} \over {{a^2} + {c^2}}}d\)
Kết hợp với kết quả trong câu a) ta suy ra \(d = {{b{c^2}} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}}\)