Bài 1.12 trang 20 sách bài tập – Hình học 12: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA...

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B. Cạnh SA vuông góc với đáy. Từ A kẻ các đoạn thẳng  AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC. Biết rằng AB = a, BC = b, SA = c.

a) Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE

b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có  $\left\{ {\matrix{{BC \bot SA} \cr {BC \bot AB} \cr} } \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)$

Vì  $AD \subset (SAB)$ nên  $AD \bot BC$

Mặt khác $AD \bot SB$  nên  $AD \bot (SBC)$

Từ đó suy ra $AD \bot SC$

$\left\{ {\matrix{{SC \bot AE} \cr {SC \bot AD} \cr} } \right. \Rightarrow  SC \bot (ADE) \Rightarrow  SC \bot DE$ hay $SE \bot (ADE)$ .

Trong tam giác vuông SAB ta có: $SA.AB = AD.SB \Rightarrow AD = {{AB.SA} \over {SB}} = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}$

Tương tự, trong tam giác vuông SAC ta có: $AE = {{SA.AC} \over {SC}} = {{c\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Do  $AD \bot (SBC)$ nên $AD \bot DE$ . Từ đó suy ra:

$DE = \sqrt {A{E^2} - A{D^2}}$

$= \sqrt {{{{c^2}({a^2} + {b^2})} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}} - {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}}$

$= {{{c^2}b} \over {\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}$

$SE = \sqrt {S{A^2} - A{E^2}}$

$= \sqrt {{c^2} - {{{c^2}({a^2} + {b^2})} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}}}$

$= {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

Vậy  ${V_{S.ADE}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}AD.DE.SE$

$= {1 \over 6}{{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}.{{{c^2}b} \over {\sqrt {({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})} }}.{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}$

$= {{ab{c^5}} \over {6({a^2} + {b^2} + {c^2})({a^2} + {c^2})}}$          

b) Gọi d là khoảng cách từ E  đến mặt phẳng (SAB)

Ta có: $SD = \sqrt {S{A^2} - A{D^2}}  = \sqrt {{c^2} - {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}}  = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}$

${V_{S.ADE}} = {V_{E.SAD}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}SD.AD.d$

$= {1 \over 6}{{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}{{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}d$

$= {1 \over 6}{{a{c^3}} \over {{a^2} + {c^2}}}d$

Kết hợp với kết quả trong câu a) ta suy ra  $d = {{b{c^2}} \over {{a^2} + {b^2} + {c^2}}}$