Bài 1.14 trang 20 sách bài tập – Hình học 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = 2a, AA’ = a....

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’  có AB = a, BC = 2a, AA’ = a. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AM = 3MD.

a) Tính thể tích khối chóp M.AB’C

b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C).

Hướng dẫn làm bài:

a) Thể tích khối chóp M.AB’C bằng thể tích khối chóp B’AMC. Ta có:

${S_{AMC}} = {3 \over 4}{S_{ADC}} = {3 \over 4}.{1 \over 2}.2{a^2} = {{3{a^2}} \over 4}$

Do đó  ${V_{M.AB’C}} = {1 \over 3}.{{3{a^2}} \over 4}.a = {{{a^3}} \over 4}$

b) Gọi h là khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C)

Khi đó  ${V_{M.AB’C}} = {1 \over 3}{S_{AB’C}}.h = {{{a^3}} \over 4}$

Vì   AC² = B’C² = 5a²  nên tam giác ACB’ cân tại C. Do đó, đường trung tuyến CI của tam giác ACB’ cũng là đường cao.

Ta có:  $C{I^2} = {\rm{ }}C{A^2}-{\rm{ }}A{I^2} = {\rm{ }}5{a^2} - {({{a\sqrt 2 } \over 2})^2} = 5{a^2} - {{{a^2}} \over 2} = {{9{a^2}} \over 2}$

Do đó  $CI = {{3a} \over {\sqrt 2 }}\Rightarrow {S_{AB’C}} = {1 \over 2}.{{3a} \over {\sqrt 2 }}.a\sqrt 2  = {{3{a^2}} \over 2}$

Từ đó suy ra $h = 3{{{a^3}} \over 4}:{{3{a^2}} \over 2} = {a \over 2}$