Bài 1.29 trang 22 sách bài tập – Hình học 12: Chứng minh rằng mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít...

Chứng minh rằng mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất ba cạnh.

Hướng dẫn làm bài:

Lấy một đỉnh B tùy ý của hình đa diện (H). Gọi M₁ là một mặt của hình đa diện (H) chứa B. Gọi A, B, C là ba đỉnh liên tiếp của M₁. Khi đó AB, BC là hai cạnh của (H). Gọi M₂ là mặt khác với M₁ và có chung cạnh AB với M₁. Khi đó M₂ còn có ít nhất một đỉnh D sao cho A, B, D là ba đỉnh khác nhau liên tiếp của M₂. Nếu  \(D \equiv C\)  thì M₁ và M₂ có hai cạnh chung AB và BC, điều này vô lí.  Vậy  D phải khác C. Do đó qua đỉnh B có ít nhất ba cạnh BA, BC và BD.