Bài 1.37 trang 23 sách bài tập – Hình học 12: Cho tứ diện ABCD. Gọi hA, hB, hC, hD lần lượt là các đường cao...

Cho tứ diện ABCD. Gọi h_A , h_B, h_C, h_D  lần lượt là các đường cao của tứ diện xuất phát từ A, B, C, D và r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng:

${1 \over {{h_A}}} + {1 \over {{h_B}}} + {1 \over {{h_C}}} + {1 \over {{h_D}}} = {1 \over r}$

Hướng dẫn làm bài:

Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện, V là thể tích tứ diện. Ta có

$V = {V_{IBCD}} + {V_{ICDA}} + {V_{IDAB}} + {V_{IABC}}$

$\Rightarrow  I = {{{V_{IBCD}}} \over V} + {{{V_{ICDA}}} \over V} + {{{V_{IDAB}}} \over V} + {{{V_{IABC}}} \over V}$

$= {{{1 \over 3}r{S_{BCD}}} \over {{1 \over 3}{h_A}{S_{BCD}}}} + {{{1 \over 3}r{S_{CDA}}} \over {{1 \over 3}{h_B}{S_{CDA}}}} + {{{1 \over 3}r{S_{DAB}}} \over {{1 \over 3}{h_C}{S_{DAB}}}} + {{{1 \over 3}r{S_{ABC}}} \over {{1 \over 3}{h_D}{S_{ABC}}}}$

$= r({1 \over {{h_A}}} + {1 \over {{h_B}}} + {1 \over {{h_C}}} + {1 \over {{h_D}}})$

$\Rightarrow  {1 \over r} = {1 \over {{h_A}}} + {1 \over {{h_B}}} + {1 \over {{h_C}}} + {1 \over {{h_D}}}$