Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a, M là trung điểm của BB’ Tính theo a :
a) Khoảng cách giữa AC và DC’.
b) Độ dài đoạn vuông góc chung giữa CM và AB’.
Hướng dẫn làm bài
a)
Gọi d(AC, DC’) = h
Ta có C’A’ // CA , do đó:
d(AC, DC’) = d(AC, (A’C’D)) = d(C, (A’C’D)) = h
Ta có: VA′.CDC′=13a22a=a36
Để ý rằng tam giác A’C’D là tam giác đều cạnh bằng a√2.
Do đó: SA′C′D=a2√32;
VC.A′C′D=13SA′C′D.h=13.a2√32h=VA′.CDC′=a36
Từ đó suy ra: h=a36a2√36=a√3=a√33
b)
Từ A kẻ đường thẳng song song với MC’ , cắt DD’ tại N và A’D’ kéo dài tại J.
Advertisements (Quảng cáo)
Đặt h1 = d(MC’ , AB’) = d(M, (AB’N))
Ta có: VM.AB′N=VN.AB′M=13a24a=a312
Để ý rằng N là trung điểm của DD’ , A’J = 2A’D’ và JA = JB’
Gọi I là trung điểm của AB’, khi đó JI⊥AB′.
Ta có: {\rm{AJ}} = \sqrt {{\rm{AA}}{‘^2} + A'{J^2}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2}} = a\sqrt 5 ;AI = {{a\sqrt 2 } \over 2}
Suy ra: {\rm{IJ}} = \sqrt {5{a^2} - {{{a^2}} \over 2}} = {{3a} \over {\sqrt 2 }} ;
{S_{JAB’}} = {1 \over 2}{{3a} \over {\sqrt 2 }}a\sqrt 2 = {{3{a^2}} \over 2}
Do đó: {S_{AB’N}} = {1 \over 2}{S_{JAB’}} = {{3{a^2}} \over 4} ;
{V_{M.AB’N}} = {1 \over 3}{{3{a^2}} \over 4}{h_1} = {{{a^2}{h_1}} \over 4} = {{{a^3}} \over {12}}
Suy ra: {h_1} = {a \over 3}
Chú ý: Có thể tính thể tích SAB’N bằng cách khác.
Để ý rằng: NB’ = \sqrt {ND{‘^2} + B’D{‘^2}} = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + 2{a^2}} = {{3a} \over 2},
AN = {{a\sqrt 5 } \over 2},\,\,AB’ = a\sqrt 2
Gọi \alpha = \widehat {NAB’} . Ta có: NB{^2} = {\rm{ }}A{N^2} + {\rm{ }}AB{^2}-{\rm{ }}2AN.AB.cos\alpha
Hay {{9{a^2}} \over 4} = {{5{a^2}} \over 4} + 2{a^2} - 2{{a\sqrt 5 } \over 2}a\sqrt 2 \cos \alpha
\Rightarrow \cos \alpha = {1 \over {\sqrt {10} }} \Rightarrow \sin \alpha = {3 \over {\sqrt {10} }}
Do đó: {S_{AB’N}} = {1 \over 2}AB’.AN.\sin \alpha = {1 \over 2}a\sqrt 2 {{a\sqrt 5 } \over 2}{3 \over {\sqrt {10} }} = {{3{a^2}} \over 4}