Bài 1.32 trang 22 sách bài tập (SBT) – Hình học 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, các mặt (SAB) và...

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, các mặt (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy. Góc giữa mặt (SAC) và đáy bằng 60⁰, AB = 2a , BC = a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC theo a.

Hướng dẫn làm bài:

Vì các mặt (SAB) và (SAD) vuông góc với đáy nên $SA \bot (ABCD)$ . Ta có:

$\left\{ {\matrix{{BC \bot AB} \cr {BC \bot SA} \cr} } \right. \Rightarrow  BC \bot (SAB)$

⟹ góc$((SBC),(ABCD)) = \widehat {SBA} = {60^0}$

Do đó: $SA = 2a\tan {60^0} = 2a\sqrt 3$    

         ${V_{S.ABCD}} = {1 \over 3}2a\sqrt 3 .2a.a = {{4\sqrt 3 } \over 3}{a^3}$

Vì CD // AB nên d(AB. CD) = d(AB, (SCD)). Hạ $AH \bot SD$  , để ý rằng $CD \bot (SAD) \Rightarrow AH \bot (SCD)$.

Do đó  d(AB, SC) = AH.

Ta có: $AH.SD = SA.AD$

$\Rightarrow AH = {{SA.AD} \over {\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = {{2a\sqrt 3 .a} \over {\sqrt {12{a^2} + {a^2}} }} = 2\sqrt {{3 \over {13}}} a$