Bài 3.54 trang 132 sách bài tập – Hình học 12: Cho hai đường thẳng d: và d1: Lập phương trình mặt phẳng...

Cho hai đường thẳng d:  $\left\{ {\matrix{{x = 6} \cr {y = - 2t} \cr {z = 7 + t} \cr} } \right.$ và  d₁: $\left\{ {\matrix{{x = - 2 + t’} \cr {y = - 2} \cr {z = - 11 - t’} \cr} } \right.$

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và d₁ đến (P) là bằng nhau.

Hướng dẫn làm bài:

Đường thẳng d đi qua M(6; 0 ;7) có vecto chỉ phương $\overrightarrow a (0; - 2;1)$. Đường thẳng d₁ đi qua N(-2; -2; -11) có vecto chỉ phương $\overrightarrow b (1;0; - 1)$.

Do d và d₁ chéo nhau nên (P) là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn vuông góc  chung AB của d, d₁ và song song với d và d₁.

Để tìm tọa độ của A, B ta làm như sau:

Lấy điểm A(6; - 2t; 7 + t) thuộc d, B( -2 + t’; -2 ; -11 – t’) thuộc d₁. Khi đó: $\overrightarrow {AB}  = ( - 8 + t’; - 2 + 2t; - 18 - t - t’)$

Ta có: $\left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow a } \cr {\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow b } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow a = 0} \cr {\overrightarrow {AB}.\overrightarrow b = 0} \cr} } \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - 2( - 2 + 2t) + ( - 18 - t - t’) = 0} \cr { - 8 + t’ - ( - 18 - t - t’) = 0} \cr} } \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - 5t - t’ - 14 = 0} \cr {t + 2t’ + 10 = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{t = - 2} \cr {t’ = - 4} \cr} } \right.$

Suy ra  A(6; 4; 5), B(-6; -2; -7)

Trung điểm của AB là I(0; 1; -1)

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = ( - 12; - 6; - 12)$ . Chọn $\overrightarrow {{n_P}}  = (2;1;2)$

Phương trình của (P) là: 2x + (y – 1) + 2(z + 1) = 0  hay 2x + y  +2z + 1 = 0.

Có thể tìm tọa độ của A, B bằng cách khác:

Ta có: Vecto chỉ phương của đường vuông góc chung của d và d₁là:

$\eqalign{& \overrightarrow a \wedge \overrightarrow b = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ - 2} \cr 0 \cr} } & {\matrix{1 \cr { - 1} \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr { - 1} \cr} } & {\matrix{0 \cr 1 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 1 \cr} } & {\matrix{{ - 2} \cr 0 \cr} } \cr} } \right|} \right) \cr & = \left( {2;1;2} \right) \cr}$

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d và đường vuông góc chung AB.

Khi đó:

$\eqalign{& \overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow a \wedge \left( {\overrightarrow a \wedge \overrightarrow b } \right) \cr & = \left( {\left| {\matrix{{\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr} } & {\matrix{1 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{1 \cr 2 \cr} } & {\matrix{0 \cr 2 \cr} } \cr} } \right|;\left| {\matrix{{\matrix{0 \cr 2 \cr} } & {\matrix{{ - 2} \cr 1 \cr} } \cr} } \right|} \right) = ( - 5;2;4) \cr}$

Phương trình của (Q) là : $–5(x – 6) + 2y + 4(z – 7) = 0$ hay $–5x + 2y + 4z + 2 = 0$

Để tìm ${d_1} \cap (Q)$   ta thế phương trình của d1 vào phương trình của (Q). Ta có:

$–5(–2 + t’) + 2(–2)  +4(–11 – t’ ) + 2 = 0$

$\Rightarrow  t’ = 4$

$\Rightarrow {d_1} \cap (Q) = B( - 6; - 2; - 7)$

Tương tự, gọi (R) là mặt phẳng chứa d1 và đường vuông góc chung AB. Khi đó: $\overrightarrow {{n_R}}  = ( - 1;4; - 1)$

Phương trình của (R) là $–x  + 4y – z – 5 = 0.$

Suy ra  $d \cap (R) = A(6;4;5)$