Bài 6 trang 81 Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-2;3;0), B(4;0;5), C(0;2;-3). Chứng minh rằng ba điểm A, B...

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(-2;3;0), B(4;0;5), C(0;2;-3).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng

b) Tính chu vi tam giác ABC

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC

d) Tính $\cos \widehat {BAC}$

a) A, B, C không thẳng hàng khi $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ không cùng phương

b) Chu vi tam giác ABC bằng tổng độ dài ba cạnh

c) Cho tam giác ABC có $A({a_1};{a_2};{a_3})$, $B({b_1};{b_2};{b_3})$, $C({c_1};{c_2};{c_3})$, ta có $G(\frac{{{a_1} + {b_1} + {c_1}}}{3};\frac{{{a_2} + {b_2} + {c_2}}}{3};\frac{{{a_3} + {b_3} + {c_3}}}{3})$ là trọng tâm của tam giác ABC

d) $\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{|\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |}}$

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = (6; - 3;5),\overrightarrow {AC} = (2; - 1; - 3)$

$\overrightarrow {AB} \ne k\overrightarrow {AC}$ nên $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ không cùng phương hay A, B, C không thẳng hàng

b) Ta có: $AB = \sqrt {{6^2} + {{( - 3)}^2} + {5^2}} = \sqrt {70}$

$AC = \sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {14}$

$\overrightarrow {BC} = ( - 4;2; - 8) \Rightarrow BC = \sqrt {{{( - 4)}^2} + {2^2} + {{( - 8)}^2}} = 2\sqrt {21}$

Chu vi tam giác ABC là: AB + AC + BC = $\sqrt {70}$+ $\sqrt {14}$+ $2\sqrt {21}$

c) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là: $G(\frac{{ - 2 + 4 + 0}}{3};\frac{{3 + 0 + 2}}{3};\frac{{0 + 5 - 3}}{3}) \Rightarrow G(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3})$

d) $\cos \widehat {BAC} = \frac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{6.2 - 3.( - 1) + 5.( - 3)}}{{\sqrt {70} .2\sqrt {21} }} = 0$