Giải mục 4 trang 79,80 Toán 12 tập 1 - Cánh diều: Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), C’(1;1;1)...

Trả lời câu hỏi Hoạt động 4 trang 79 SGK Toán 12 Cánh diều

a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(1;0;0), D(0;1;0), C’(1;1;1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vecto vuông góc với cả hai vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$

b) Cho hai vecto $\overrightarrow u = ({x_1};{y_1};{z_1})$ và $\overrightarrow v = ({x_2};{y_2};{z_2})$ không cùng phương. Xét vecto $\overrightarrow w = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1};{z_1}{x_2} - {z_2}{x_1};{x_1}{y_2} - {x_2}{y_1})$.

• Tính $\overrightarrow w .\overrightarrow u$, $\overrightarrow w .\overrightarrow v$
• Vecto $\overrightarrow w$ có vuông góc với cả hai vecto $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ hay không?

Cho hai vectơ $\overrightarrow a = ({a_1};{a_2};{a_3})$, $\overrightarrow b = ({b_1};{b_2};{b_3})$, ta có biểu thức tọa độ của tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + {a_3}{b_3}$ và $\overrightarrow a \bot \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$

a)

Ta có: $\overrightarrow {AB} = (1;0;0)$, $\overrightarrow {AD} = (0;1;0)$

$A'(0;0;1) \Rightarrow \overrightarrow {AA’} = (0;0;1)$

Ta có: $\overrightarrow {AA’} .\overrightarrow {AB} = 0.1 + 0.0 + 1.0 = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AA’} \bot \overrightarrow {AB}$

$\overrightarrow {AA’} .\overrightarrow {AD} = 0.0 + 0.1 + 1.0 = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AA’} \bot \overrightarrow {AD}$

Vậy $\overrightarrow {AA’}$ vuông góc với cả hai vecto $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AD}$

b) $\overrightarrow w .\overrightarrow u = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1}){x_1} + ({z_1}{x_2} - {z_2}{x_1}){y_1} + ({x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}){z_1} = {x_1}{y_1}{z_2} - {x_1}{y_2}{z_1} + {y_1}{z_1}{x_2} - {y_1}{z_2}{x_1} + {z_1}{x_1}{y_2} - {z_1}{x_2}{y_1} = 0$

$\overrightarrow w .\overrightarrow v = ({y_1}{z_2} - {y_2}{z_1}){x_2} + ({z_1}{x_2} - {z_2}{x_1}){y_2} + ({x_1}{y_2} - {x_2}{y_1}){z_2} = {x_2}{y_1}{z_2} - {x_2}{y_2}{z_1} + {y_2}{z_1}{x_2} - {y_2}{z_2}{x_1} + {z_2}{x_1}{y_2} - {z_2}{x_2}{y_1} = 0$

Vecto $\overrightarrow w$ có vuông góc với cả hai vecto $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$