Câu hỏi Khám phá 2 trang 6 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Với $C$ là hằng số tuỳ ý, hàm số $H\left( x \right) = F\left( x \right) + C$ có là nguyên hàm của \(f\left( x...

Cho hàm số $f\left( x \right) = 3{x^2}$ xác định trên $\mathbb{R}$.

a) Chứng minh rằng $F\left( x \right) = {x^3}$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$.

b) Với $C$ là hằng số tuỳ ý, hàm số $H\left( x \right) = F\left( x \right) + C$ có là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ không?

c) Giả sử $G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$. Tìm đạo hàm của hàm số $G\left( x \right) - F\left( x \right)$. Từ đó, có nhận xét gì về hàm số $G\left( x \right) - F\left( x \right)$?

a) Để chứng minh $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$, ta cần chỉ ra rằng $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$.

b) Để kiểm tra hàm số $H\left( x \right)$ có là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ hay không, ta cần tính đạo hàm $H’\left( x \right)$ và so sánh với $f\left( x \right)$.

c) Tính đạo hàm $\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]’$ và rút ra kết luận.

a) Ta có $F’\left( x \right) = 3{x^2} = f\left( x \right)$, nên $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$.

b) Ta có $H’\left( x \right) = \left[ {F\left( x \right) + C} \right]’ = F’\left( x \right) + C’ = f\left( x \right)$ (do $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$), nên $H\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$.

c) Do $G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$, ta có $G’\left( x \right) = f\left( x \right)$.

Ta có $\left[ {G\left( x \right) - F\left( x \right)} \right]’ = G’\left( x \right) - F’\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( x \right) = 0$.

Vậy đạo hàm của hàm số $G\left( x \right) - F\left( x \right)$ bằng 0, tức là $G\left( x \right) - F\left( x \right)$ là một hằng số (do đạo hàm của một hằng số thì bằng 0).