Câu hỏi Khám phá 3 trang 8 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Giải thích tại sao $\int {0dx = C}$ và $\int {1dx = x + C}$ b) Tìm đạo hàm của hàm số \(F\left(...

a) Giải thích tại sao $\int {0dx = C}$ và $\int {1dx = x + C}$

b) Tìm đạo hàm của hàm số $F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}$ $\left( {\alpha \ne - 1} \right)$. Từ đó, tìm $\int {{x^\alpha }dx}$.

a) Để chứng minh $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f\left( x \right)$, ta cần chỉ ra rằng $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$, với lần lượt $F\left( x \right) = C$ và $F\left( x \right) = x + C$.

b) Sử dụng công thức tính đạo hàm để tính đạo hàm của $F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}$ và kết luận.

a) Do $C’ = 0$ nên hàm số $F\left( x \right) = C$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 0$. Như vậy $\int {0dx = C}$.

Do $x’ = 1$ nên hàm số $F\left( x \right) = x$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = 1$. Như vậy $\int {1dx = x + C}$.

b) Ta có $F’\left( x \right) = \left( {\frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}} \right)’ = \frac{{\left( {\alpha + 1} \right){x^\alpha }}}{{\alpha + 1}} = {x^\alpha }$. Vậy ta có $F\left( x \right) = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}}$ $\left( {\alpha \ne - 1} \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^\alpha }$. Do đó $\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C$.