Câu hỏi/bài tập:
Cho hàm số \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) với \(x \ne 0\).
a) Tìm đạo hàm của \(F\left( x \right)\).
b) Từ đó, tìm \(\int {\frac{1}{x}dx} \).
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\). Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\), sau đó tính đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trong từng trường hợp trên.
b) Từ câu a, rút ra kết luận.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Với \(x > 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln x\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) là: \(F’\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)’ = \frac{1}{x}\).
Với \(x < 0\), ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right| = \ln \left( { - x} \right)\).
Đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\) là: \(F’\left( x \right) = \left( {\ln x} \right)’ = \frac{1}{x}\).
Vậy ta có đạo hàm của \(F\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R} \setminus \left\{ 0 \right\}\) là \(F’\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
b) Từ câu a, ta có \(F\left( x \right) = \ln \left| x \right|\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x}\).
Do đó \(\int {\frac{1}{x}dx = \ln \left| x \right| + C} \)