Câu hỏi Khám phá 8 trang 10 Toán 12 Chân trời sáng tạo: Ta có $\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)’ = {x^2}$, $\left( {{x^2}} \right)’ = 2x$ và \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)’ =...

Ta có $\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)’ = {x^2}$, $\left( {{x^2}} \right)’ = 2x$ và $\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)’ = {x^2} + 2x$.

a) Tìm $\int {{x^2}dx}$, $\int {2xdx}$ và $\int {{x^2}dx} + \int {2xdx}$

b) Tìm $\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}$.

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao $\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx = \int {{x^2}dx} + \int {2xdx} }$.

a, b) Sử dụng kiến thức nếu $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ thì $\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C$

c) So sánh $\int {{x^2}dx} + \int {2xdx}$ và $\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}$ và rút ra kết luận.

a) Do $\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)’ = {x^2}$ nên $\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}$

Do $\left( {{x^2}} \right)’ = 2x$ nên $\int {2xdx} = {x^2} + {C_2}$

Suy ra $\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + {C_1} + {C_2}$

b) Do $\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)’ = {x^2} + 2x$ nên $\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C$

c) Ta thấy rằng $\int {{x^2}dx} + \int {2xdx}$ và $\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}$ đều cùng có dạng $\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C$, với $C$ là một hằng số. Do đó $\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} = \int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx}$.