Câu hỏi/bài tập:
Ta có \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)’ = {x^2}\), \(\left( {{x^2}} \right)’ = 2x\) và \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)’ = {x^2} + 2x\).
a) Tìm \(\int {{x^2}dx} \), \(\int {2xdx} \) và \(\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} \)
b) Tìm \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \).
c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx = \int {{x^2}dx} + \int {2xdx} } \).
a, b) Sử dụng kiến thức nếu \(F’\left( x \right) = f\left( x \right)\) thì \(\int {f\left( x \right)dx} = F\left( x \right) + C\)
Advertisements (Quảng cáo)
c) So sánh \(\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} \) và \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \) và rút ra kết luận.
a) Do \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)’ = {x^2}\) nên \(\int {{x^2}dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}\)
Do \(\left( {{x^2}} \right)’ = 2x\) nên \(\int {2xdx} = {x^2} + {C_2}\)
Suy ra \(\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + {C_1} + {C_2}\)
b) Do \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)’ = {x^2} + 2x\) nên \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} = \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\)
c) Ta thấy rằng \(\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} \) và \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \) đều cùng có dạng \(\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + C\), với \(C\) là một hằng số. Do đó \(\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} = \int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \).