Bài tập 1.16 trang 22 Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá: Tìm các đường tiệm cận của mỗi hàm số y = x^3 - 2x + x - 9 y =...

Tìm các đường tiệm cận của mỗi hàm số

a) $y = {x^3} - 2x + x - 9$

b) $y = \frac{{x - 5}}{{4x + 2}}$

c) $y = \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}}$

d) $y = 2x - 1 + \frac{2}{{x + 1}}$

Xét giới hạn các hàm số và áp dụng ghi chú: hàm số $y = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{mx + n}}$ ($a \ne 0,m \ne 0$ đa thức tử không chia hết cho đa thức mẫu) luôn được viết dưới dạng $y = px + q + \frac{r}{{mx + n}}$$(p,q,r \in R)$. Khi đó đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng $x = - \frac{n}{m}$là và đường tiệm cận xiên là$y = px + q$_.

a) $y = {x^3} - 2x + x - 9$

Hàm số xác định trên R nên hàm số không có tiệm cận đứng.

Lại có vì y là hàm đa thức nên không có tiệm cận ngang.

b) $y = \frac{{x - 5}}{{4x + 2}}$

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x - 5}}{{4x + 2}} = \frac{1}{4},\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{x - 5}}{{4x + 2}} = \frac{1}{4}.$

Suy ra y =$\;\frac{1}{4}$ là đường tiệm cận ngang của hàm số.

Ta có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^ + }} \frac{{x - 5}}{{4x + 2}} = - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^ - }} \frac{{x - 5}}{{4x + 2}} = + \infty$.

Suy ra $x = \frac{{ - 1}}{2}$ đường tiệm cận đứng của hàm số.

c) $y = \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}} = - \infty$.

Suy ra hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^ + }} \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( {\frac{{ - 1}}{2}} \right)}^ - }} \frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}} = - \infty$

Suy ra $x = \frac{{ - 1}}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có: $\frac{{{x^2} - 3x + 4}}{{2x + 1}} = \frac{x}{2} - \frac{7}{4} + \frac{{23}}{{4(2x + 1)}}$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - \frac{x}{2} + \frac{7}{4}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{23}}{{4(2x + 1)}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {y - \frac{x}{2} + \frac{7}{4}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{23}}{{4(2x + 1)}} = 0.$

Suy ra $y = \frac{x}{2} - \frac{7}{4}$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

d) $y = 2x - 1 + \frac{2}{{x + 1}}$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = 2x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 2x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} = - \infty .$

Suy ra hàm số không có đường tiệm cận ngang.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ + }} y = 2x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to - {1^ - }} 2x - 1 + \frac{2}{{x + 1}} = - \infty .$

Suy ra $x = - 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y - 2x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{2}{{x + 1}} = 0.$

Suy ra $y = 2x - 1$ là tiệm cận xiên của đồ thị.

Hàm số có đường tiệm cận đứng là $x = - 1$và đường tiệm cận xiên là $y = 2x - 1$_.