Cho hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\). Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị và chỉ ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
- Vẽ đồ thị.
- Tính đạo hàm cấp hai và tìm điểm uốn của đồ thị hàm số.
- Tập xác định: D = R.
- Sự biến thiên:
Giới hạn:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \infty \)
Ta có:
\({y^\prime } = - 3{x^2} + 3\)
Advertisements (Quảng cáo)
\({y^\prime } = 0 \leftrightarrow - 3{x^2} + 3 = 0 \leftrightarrow x = \pm 1\)
Bảng biến thiên:
Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞,-1) và (1,∞), đồng biến trên khoảng (-1,1).
Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1,{y_{CT}} = - 1\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1,{y_{CD}} = 3\)
- Vẽ đồ thị:
Giao điểm với trục Oy là (0,1).
Giao điểm với trục Ox là (-1,53;0), (-0,53;0) và (1,88;0).
- Tính đạo hàm bậc hai: \(f”(x) = - 6x\)
- Giải phương trình \(f”(x) = 0\): \( - 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\)
\(x = 0 \to f(0) = 1\)
Vậy (0,1) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho.