Trang chủ Lớp 12 SGK Toán 12 - Cùng khám phá Mục 3 trang 28 Toán 12 tập 1 – Cùng khám phá:...

Mục 3 trang 28 Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) = 2x + 4/2x...

Tìm tập xác định của hàm số. Lời giải bài tập, câu hỏi LT2, VD2 - Giải mục 3 trang 28 SGK Toán 12 tập 1 - Cùng khám phá - Bài 4. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (y = f(x) = frac{{2x + 4}}{{2x + 1}})...

Luyện tập (LT) 2

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y=f(x)=2x+42x+1.

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

- Tìm tập xác định của hàm số.

- Xét sự biến thiên của hàm số.

- Vẽ đồ thị hàm số.

Answer - Lời giải/Đáp án

- Tập xác định: D=R{12}.

- Sự biến thiên:

Giới hạn, tiệm cận:

lim

\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = 1.

Suy ra đường thẳng {\rm{y}} = 1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho

\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ + }} \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = + \infty

\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{{ - 1}}{2}}^ - }} \frac{{2x + 4}}{{2x + 1}} = - \infty

Suy ra đường thẳng {\rm{x}} = \frac{{ - 1}}{2}. là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho

Ta có: \({y^\prime } = \frac{{ - 6}}{{{{(2x + 1)}^2}}}

Suy ra hàm số nghịch biến trên tập xác định.

Bảng biến thiên:

Chiều biến thiên: Hàm số nghịch biến trên \left( { - \infty ,\frac{{ - 1}}{2}} \right)\left( {\frac{{ - 1}}{2}, + \infty } \right)

Cực trị: Hàm số không có cực trị.

- Vẽ đồ thị:


Vận dụng (VD) 2

Ở một bể chứa nước có chứa 1000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào bể nước với tốc độ là 25 lít/phút.

a) Chứng minh rằng nồng độ muối của nước trong bể sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là: C(t) = \frac{{30t}}{{40 + t}}.

Advertisements (Quảng cáo)

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = C(t) sau 10 tiếng kể từ lúc bắt đầu bơm, từ đó nhận xét về nồng độ muối trong bể khi thời gian ttt càng lớn.

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

a)

Tính lượng nước biển bơm vào sau 𝑡 phút.

Tính tổng lượng nước trong bể sau 𝑡 phút.

Tính lượng muối bơm vào bể sau 𝑡 phút.

Tính nồng độ muối 𝐶(𝑡).

b)

Tính giới hạn của C(t) khi t \to \infty .

Tính đạo hàm của C(t).

Xét dấu của đạo hàm C’(t).

Từ dấu của đạo hàm và giới hạn khi t \to \infty kết luận về sự biến thiên và giá trị tiệm cận của hàm số.

Answer - Lời giải/Đáp án

a)

Lượng nước biển bơm vào sau t phút: V = 25t lít.

Tổng lượng nước trong bể sau t phút: 1000 + 25t lít.

Lượng muối bơm vào bể sau t phút: 30.25t = 750t {\rm{gam}}.

Nồng độ muối C(t) = \frac{{750t}}{{1000 + 25t}} = \frac{{750t}}{{25(40 + t)}} = \frac{{30t}}{{40 + t}}.

b)

Vì t là thời gian nên tập xác định của hàm số

{\rm{y}} = C(t) là t > 0.

Giới hạn của C(t) khi t \to \infty : \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \frac{{30t}}{{40 + t}} = 30.

Đạo hàm của C(t) : {C^\prime }(t) = \frac{{30.(40 + t) - 30t.1}}{{{{(40 + t)}^2}}} = \frac{{1200 + 30t - 30t}}{{{{(40 + t)}^2}}} = \frac{{1200}}{{{{(40 + t)}^2}}}.

Nhận thấy {C^\prime }(t) > 0\forall t > 0.

Vậy nồng độ muối trong bể tăng dần khi thời gian t càng lớn.

Khi t \to \infty , nồng độ muối trong bể tiệm cận 30 gam/lít.

Advertisements (Quảng cáo)