Bài 1.10 trang 19 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau...

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:a) $y = - {x^2} + 4x + 3$;b) $y = {x^3} - 2{x^2} + 1$ trên $\left[ {0; + \infty } \right)$;c) $y = \frac{{{x^2} - 2x + 3}}{{x - 1}}$ trên $\left( {1; + \infty } \right)$;d) $y = \sqrt {4x - 2{x^2}}$.

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử $y = f\left( x \right)$ là hàm số liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $\left[ {a;b} \right]$ mà đạo hàm $f’\left( x \right) = 0$.

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

1. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)$, tại đó $f’\left( x \right) = 0$ hoặc không tồn tại.

2. Tính $f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)$, f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có:

$M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)$

a) Ta có: $y = - {x^2} + 4x + 3 = - {\left( {x - 2} \right)^2} + 7 \le 7$ với mọi số thực x.

Dấu “=” xảy ra khi $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$.

Do đó, $\max f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 7$, hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) GTLN, GTNN của $y = {x^3} - 2{x^2} + 1$ trên $\left[ {0; + \infty } \right)$

Ta có: $y’ = 3{x^2} - 4x,y’ = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( {tm} \right)\\x = \frac{4}{3}\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Bảng biến thiên:

Do đó, $\mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} y = y\left( {\frac{4}{3}} \right) = \frac{{ - 5}}{{27}}$, hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Ta có: $y’ = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} - 2x + 3} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1 + \sqrt 2$ (do $x \in \left( {1; + \infty } \right)$)

Do đó, $\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} y = y\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2$, hàm số không có giá trị lớn nhất trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

d) Tập xác định của hàm số là: $D = \left[ {0;2} \right]$

$y’ = \frac{{\left( {4x - 2{x^2}} \right)’}}{{2\sqrt {4x - 2{x^2}} }} = \frac{{4 - 4x}}{{2\sqrt {4x - 2{x^2}} }} = \frac{{2\left( {1 - x} \right)}}{{\sqrt {4x - 2{x^2}} }}$

$y’ = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {tm} \right)$

$y\left( 0 \right) = 0;y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = 0$

Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} y = y\left( 0 \right) = y\left( 2 \right) = 0$