Bài 1.41 trang 44 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau...

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:a) $y = \frac{{2x + 1}}{{3x - 2}}$ trên nửa khoảng $\left[ {2; + \infty } \right)$;b) $y = \sqrt {2 - {x^2}}$;

Sử dụng kiến thức về cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn để tính: Giả sử $y = f\left( x \right)$ là hàm số liên tục trên $\left[ {a;b} \right]$ và có đạo hàm trên (a; b), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn $\left[ {a;b} \right]$ mà đạo hàm $f’\left( x \right) = 0$.

Các bước tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[ {a;b} \right]$:

1. Tìm các điểm ${x_1},{x_2},...{x_n} \in \left( {a;b} \right)$, tại đó $f’\left( x \right) = 0$ hoặc không tồn tại.

2. Tính $f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right)$, f(a) và f(b).

3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên.

Ta có: $M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right),m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} f\left( x \right)$

a) Ta có: $y’ = \frac{{ - 7}}{{{{\left( {3x - 2} \right)}^2}}} < 0\;\forall x \in \left[ {2; + \infty } \right)$

Nên $\mathop {\max }\limits_{\left[ {2; + \infty } \right)} y = y\left( 2 \right) = \frac{{2.2 + 1}}{{3.2 - 2}} = \frac{5}{4}$ , hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên nửa khoảng $\left[ {2; + \infty } \right)$.

b) Tập xác định: $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$.

$y’ = \frac{{ - 2x}}{{2\sqrt {2 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {2 - {x^2}} }},y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (thỏa mãn)

$y\left( { - \sqrt 2 } \right) = y\left( {\sqrt 2 } \right) = 0;y\left( 0 \right) = \sqrt 2$

Do đó, $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} y = y\left( { - \sqrt 2 } \right) = y\left( {\sqrt 2 } \right) = 0;\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} y = y\left( 0 \right) = \sqrt 2$