Dân số của một quốc gia sau t (năm) kể từ năm 2023 được ước tính bởi công thức: \(N\left( t \right) = 100{e^{0,012t}}\) (N(t) được tính bằng triệu người, \(0 \le t \le 50\)).a) Ước tính dân số của quốc gia này vào các năm 2030 và 2035 (kết quả tính bằng triệu người, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba).b) Xem N(t) là hàm số của biến số t xác định trên đoạn [0; 50]. Xét chiều biến thiên của hàm số N(t) trên đoạn [0; 50].c) Đạo hàm của hàm số N(t) biểu thị tốc độ tăng dân số của quốc gia đó (tính bằng triệu người/ năm). Vào năm nào tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm?
Sử dụng kiến thức về chiều biến thiên của hàm số để tính: Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được nói gọn là xét chiều biến thiên của hàm số.
Sử dụng kiến thức về cách tìm khoảng đồng biến, nghịch biến \(y = f\left( x \right)\) để tính:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tính đạo hàm f’(x). Tìm các điểm \({x_i}\left( {i = 1,2,...} \right)\) mà tại đó đạo hàm f’(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
3. Sắp xếp các điểm \({x_i}\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
a) Dân số của quốc gia vào năm 2030 là: \(N\left( 7 \right) = 100{e^{0,012.7}} = 100{e^{0,084}} = 108,763\) (triệu người)
Dân số của quốc gia vào năm 2035 là: \(N\left( {12} \right) = 100{e^{0,012.12}} = 100{e^{0,144}} = 115,488\) (triệu người)
b) Trên đoạn [0; 50] ta có: \(N’\left( t \right) = 0,012.100{e^{0,012t}} = 1,2{e^{0,012t}} > 0\;\forall t \in \left[ {0;50} \right]\)
Do đó, hàm số N(t) đồng biến trên đoạn [0; 50].
c) Ta có: \(N’\left( t \right) = 1,2{e^{0,012t}}\)
Với tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm ta có:
\(1,6 = 1,2{e^{0,012t}} \Leftrightarrow {e^{0,012t}} = \frac{4}{3} \Leftrightarrow t = \frac{{250\ln \frac{4}{3}}}{3} \approx 23,97\)
Vậy vào năm 2046 thì tốc độ tăng dân số của quốc gia đó là 1,6 triệu người/ năm.