Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:a) \(y = - {x^3} + 3x + 1\);b) \(y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1\).
Sử dụng kiến thức về sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:
Sơ đồ khảo sát hàm số bậc ba
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
+ Tính đạo hàm y’. Tìm các điểm tại đó y’ bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.
+ Xét dấu y’ để chỉ ra các khoảng đơn điệu của hàm số.
+ Tìm cực trị của hàm số.
+ Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực.
+ Lập bảng biến thiên của hàm số.
3. Vẽ đồ thị của hàm số dựa vào bảng biến thiên.
a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = - 3{x^2} + 3,y’ = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
Trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\), \(y’ > 0\) nên hàm số đồng biến. Trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\), \(y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\), giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = - 1\)
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\) với trục tung là (0; 1).
Các điểm (1; 3); \(\left( { - 1; - 1} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3x + 1\).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).
b) 1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
2. Sự biến thiên:
Ta có: \(y’ = 3{x^2} + 6x - 1,y’ = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3}\) hoặc \(x = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\)
Trên khoảng \(\left( {\frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\), \(y’ < 0\) nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(\left( {\frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)\), \(y’ > 0\) nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.
Hàm số đạt cực đại tại \(x = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3}\), giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}\), giá trị cực tiểu \({y_{CT}} = \frac{{18 - 16\sqrt 3 }}{9}\).
Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty \)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty \)
Bảng biến thiên:
3. Đồ thị:
Giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1\) với trục tung là (0; -1).
Các điểm (-1; 2); \(\left( {1;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1\).
Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (-1; 2).