Bài 1.3 trang 13 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau...

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}$;

b) $y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x - 3}}$.

Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu để xét khoảng đồng biến của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số $y = f\left( x \right)$:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm $f’\left( x \right)$. Tìm các điểm ${x_i}\left( {i = 1,2,...} \right)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm ${x_i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}$.

Ta có: $y’ = \frac{{2\left( {x + 2} \right) - \left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{2x + 4 - 2x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{5}{{\left( {x + 2} \right)}} > 0\;\forall x \ne - 2$

Do đó, hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 2}}$ đồng biến trên $\left( { - \infty ; - 2} \right)$ và $\left( { - 2; + \infty } \right)$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$.

Ta có: $y’ = \frac{{\left( {{x^2} + x + 4} \right)’\left( {x - 3} \right) - \left( {{x^2} + x + 4} \right)\left( {x - 3} \right)’}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) - {x^2} - x - 4}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 6x - 7}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}$

$y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 6x - 7}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 7\\x = - 1\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x - 3}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - 1;3} \right)$ và $\left( {3;7} \right)$.

Hàm số $y = \frac{{{x^2} + x + 4}}{{x - 3}}$ đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {7; + \infty } \right)$.