Bài 1.4 trang 13 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Xét chiều biến thiên của các hàm số sau: $y = \sqrt {4 - {x^2}}$;$y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$...

Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:a) $y = \sqrt {4 - {x^2}}$;b) $y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$.

Sử dụng kiến thức về các bước để xét tính đơn điệu để xét chiều biến thiên của hàm số: Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số $y = f\left( x \right)$:

1. Tìm tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm $f’\left( x \right)$. Tìm các điểm ${x_i}\left( {i = 1,2,...} \right)$ mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

3. Sắp xếp các điểm ${x_i}$ theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.

4. Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

a) Tập xác định: $D = \left[ { - 2;2} \right]$.

Ta có: $y’ = \frac{{\left( {4 - {x^2}} \right)’}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = \frac{{ - x}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }},y’ = 0 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y = \sqrt {4 - {x^2}}$ đồng biến trên khoảng $\left( { - 2;0} \right)$.

Hàm số $y = \sqrt {4 - {x^2}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

b) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Ta có: $y’ = \frac{{\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x.x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 1 - 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}},y’ = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$

Lập bảng biến thiên của hàm số:

Hàm số $y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$, $\left( {1; + \infty } \right)$.

Hàm số $y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}$ đồng biến trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$.