Bài 2.22 trang 72 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có \(A\left( {1;0;1} \right)...

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $A\left( {1;0;1} \right),B\left( {0; - 3;1} \right)$ và $C\left( {4; - 1;4} \right)$.

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng $\widehat {BAC} = {90^0}$.

c) Tính $\widehat {ABC}$.

a) Sử dụng kiến thức về công thức tọa độ trọng tâm của tam giác để tính: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right),B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$ và $C\left( {{x_C};{y_C};{z_C}} \right)$ thì tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $\left( {\frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3};\frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3};\frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3}} \right)$.

b) Sử dụng kiến thức về nhận xét biểu thức tọa độ tích vô hướng trong không gian để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho $\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)$ là hai vectơ khác $\overrightarrow 0$. Hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc với nhau nếu và chỉ nếu $xx’ + yy’ + zz’ = 0$

c) Sử dụng kiến thức về độ dài đoạn thẳng trong không gian để tính: Nếu $A\left( {{x_A};{y_A};{z_A}} \right)$ và $B\left( {{x_B};{y_B};{z_B}} \right)$ thì $AB = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}}$

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} = \frac{5}{3}\\{y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} = \frac{{ - 4}}{3}\\{z_G} = \frac{{{z_A} + {z_B} + {z_C}}}{3} = 2\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là: $G\left( {\frac{5}{3};\frac{{ - 4}}{3};2} \right)$.

b) Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( { - 1; - 3;0} \right),\overrightarrow {AC} \left( {3; - 1;3} \right)$

Vì $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left( { - 1} \right).3 + \left( { - 3} \right)\left( { - 1} \right) + 0.3 = 0$ nên $\overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {AC}$. Do đó, $\widehat {BAC} = {90^0}$.

c) Ta có: $BA = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} ;AC = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} = \sqrt {19}$

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\tan \widehat {ABC} = \frac{{AC}}{{BA}} = \frac{{\sqrt {19} }}{{\sqrt {10} }} \Rightarrow \widehat {ABC} \approx {54^0}$