Bài 2.40 trang 74 Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ \(\ a = \left( { - 2;1;2} \right)...

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( { - 2;1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;1; - 1} \right)$.a) Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b$.b) Tính độ dài vectơ $\overrightarrow u$.c) Tính $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)$.

a) Sử dụng kiến thức hệ về biểu thức tọa độ của phép trừ hai vectơ, phép nhân một số với một vectơ để tìm tọa độ của vectơ: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)$. Ta có:

+ $\overrightarrow a - \overrightarrow b = \left( {x - x’;y - y’;z - z’} \right)$;

+ $k\overrightarrow a = \left( {kx;ky;kz} \right)$ với k là một số thực.

b) Sử dụng kiến thức về độ dài của vectơ trong không gian để tính: Nếu $\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)$ thì độ dài vectơ $\overrightarrow a$ là $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}$

c) Sử dụng kiến thức về cosin góc của 2 vectơ trong không gian để tính: Nếu $\overrightarrow a = \left( {x;y;z} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {x’;y’;z’} \right)$ là hai vectơ khác $\overrightarrow 0$ thì $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{xx’ + yy’ + zz’}}{{\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} .\sqrt {x{‘^2} + y{‘^2} + z{‘^2}} }}$

a) $\overrightarrow u = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b = \left( { - 2 - 2.1;1 - 2.1;2 - 2\left( { - 1} \right)} \right) = \left( { - 4; - 1;4} \right)$

b) $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2}} = \sqrt {33}$

c) $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{\left( { - 2} \right).1 + 1.1 + 2.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - \sqrt 3 }}{3}$