Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, gọi G là trọng tâm của tam giác BDA’.a) Biểu diễn →AG theo →AB,→AD và →AA′.b) Từ câu a, hãy chứng tỏ ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.
a) Sử dụng kiến thức về hai vectơ bằng nhau để chứng minh: Hai vectơ →a và →b được gọi là bằng nhau, kí hiệu →a=→b, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
Sử dụng kiến thức về trung điểm của đoạn thẳng để chứng minh: Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB, với điểm M tùy ý ta có: →MA+→MB=2→MI.
Sử dụng quy tắc hình bình hành để chứng minh: Nếu ABCD là hình bình hành thì →AB+→AD=→AC
Sử dụng kiến thức về quy tắc hình hộp để chứng minh: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khi đó, ta có: →AB+→AD+→AA′=→AC′
b) Sử dụng kiến thức về 2 vectơ cùng phương để chứng minh ba điểm thẳng hàng: Nếu →AB=k→AC thì hai vectơ →AB,→AC cùng phương và 3 điểm A, B, C thẳng hàng.
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi I là giao điểm của AC và BD. Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên I là trung điểm của BD. Do đó, A’I là đường trung tuyến của tam giác A’BD. Mà G là trọng tâm tam giác A’BD nên →A′G=23→A′I.
Vì I là trung điểm BD nên →A′I=12(→A′B+→A′D)=12(→A′A+→A′B′+→A′D′+→A′A)=−→AA′+12→AB+12→AD
Do đó, →A′G=−23→AA′+13→AB+13→AD
Ta có: →AG=→AA′+→A′G=→AA′−23→AA′+13→AB+13→AD=13(→AA′+→AB+→AD)
b) Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên →AC′=→AA′+→AB+→AD
Do đó, →AC′=3→AG nên hai vectơ →AC′ và →AG cùng phương. Vậy ba điểm A, G và C’ thẳng hàng.