Bài tập 4.1 trang 11 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương...

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) $F\left( x \right) = x\ln x$ và $f\left( x \right) = 1 + \ln x$ trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$;

b) $F\left( x \right) = {e^{\sin x}}$ và $f\left( x \right) = {e^{\cos x}}$ trên $\mathbb{R}$.

Sử dụng kiến thức về khái niệm nguyên hàm của một hàm số để giải: Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, hoặc một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc K.

a) Ta có: $F’\left( x \right) = \left( {x\ln x} \right)’ = \ln x + \frac{x}{x} = \ln x + 1$. Do đó, $F’\left( x \right) = f\left( x \right)$ với mọi x thuộc $\left( {0; + \infty } \right)$. Do đó, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$.

b) Ta có: $F’\left( x \right) = \left( {{e^{\sin x}}} \right)’ = \cos x.{e^{\sin x}}$.

Hàm số F(x) không là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên $\mathbb{R}$ vì $F’\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 \ne 1 = f\left( 1 \right)$