Bài tập 4.28 trang 28 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau: $y = {2^x} - \frac{1}{x}$...

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) $y = {2^x} - \frac{1}{x}$;

b) $y = x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}$.

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx}$

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: $\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} }$, $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} }$

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lũy thừa để tính:

$\int {{x^\alpha }dx} = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C\left( {\alpha \ne - 1} \right),\int {\frac{1}{x}} dx = \ln \left| x \right| + C$

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số mũ để tính: $\int {{a^x}dx} = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C\left( {0 < a \ne 1} \right)$

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

$\int {\cos x} dx = \sin x + C,\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C$

a) $\int {\left( {{2^x} - \frac{1}{x}} \right)dx} = \int {{2^x}dx} - \int {\frac{1}{x}dx} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - \ln \left| x \right| + C$

b) $\int {\left( {x\sqrt x + 3\cos x - \frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = \int {{x^{\frac{3}{2}}}dx} + 3\int {\cos x - 2\int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}}} }$

$= \frac{{2{x^2}\sqrt x }}{5} + 3\sin x + 2\cot x + C$