Bài tập 4.29 trang 28 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ thỏa mãn điều...

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left( x \right) = 2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$ thỏa mãn điều kiện $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1$.

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx}$

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: $\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} }$, $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} }$

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

$\int {\cos x} dx = \sin x + C,\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C$

Ta có: $\int {\left( {2\cos x + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} = 2\int {\cos x + \int {\frac{{dx}}{{{{\sin }^2}x}} = 2\sin x - \cot x + C} }$

Vì $F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 1$ nên $2\sin \frac{\pi }{4} - \cot \frac{\pi }{4} + C = - 1$, suy ra $C = - \sqrt 2$

Do đó, $F\left( x \right) = 2\sin x - \cot x - \sqrt 2$.