Bài tập 4.4 trang 11 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tìm: $\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx$; $\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx$...

Tìm:

a) $\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx$;

b) $\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx$;

c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx$;

d) $\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx$.

Sử dụng kiến thức về tính chất cơ bản của nguyên hàm để tính: $\int {kf\left( x \right)dx} = k\int {f\left( x \right)dx}$

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm một tổng để tính: $\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx - \int {g\left( x \right)dx} }$, $\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)dx + \int {g\left( x \right)dx} }$

Sử dụng kiến thức về nguyên hàm của hàm số lượng giác để tính:

$\int {\cos x} dx = \sin x + C,\int {\sin x} dx = - \cos x + C,\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} dx = \tan x + C,\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = - \cot x + C$

a) $\int {\left( {2\cos x - \frac{3}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx = 2\int {\cos x} dx - 3\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx = 2\sin x + 3\cot x + C$

b) $\int {4{{\sin }^2}\frac{x}{2}} dx = \int {2\left( {1 - \cos x} \right)} dx = 2\int {dx - 2\int {\cos x} dx = 2x - 2\sin x + C}$

c) $\int {{{\left( {\sin \frac{x}{2} - \cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} dx = \int {\left( {{{\sin }^2}\frac{x}{2} + {{\cos }^2}\frac{x}{2} - 2\sin \frac{x}{2}.\cos \frac{x}{2}} \right)} dx = \int {\left( {1 - \sin x} \right)} dx$

$= \int {dx} - \int {\sin x} dx = x + \cos x + C$

d) $\int {\left( {x + {{\tan }^2}x} \right)} dx = \int {xdx} + \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx} = \frac{{{x^2}}}{2} + \tan x - x + C$