Bài tập 5.17 trang 49 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz...

Tại một nút giao thông có hai con đường. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz, hai con đường đó thuộc hai đường thẳng lần lượt có phương trình: ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{y}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{3}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x - 3}}{{ - 1}} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{1}$.

a) Hai con đường trên có vuông góc với nhau hay không?

b) Nút giao thông trên có phải là nút giao thông khác mức hay không?

Sử dụng kiến thức về hai đường thẳng vuông góc với nhau để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$. Khi đó, ${\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0 \Leftrightarrow {a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} + {c_1}{c_2} = 0$

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để xét xem nút giao thông có phải là nút giao thông khác mức không: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt đi qua các điểm ${A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$. Khi đó:

${\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1}\not \in {\Delta _2}$

${\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1} \in {\Delta _2}$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.$

a) Đường thẳng ${\Delta _1}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 1;3} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} \left( { - 1;1;1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 2.\left( { - 1} \right) - 1.1 + 3.1 = 0$ nên $\overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}}$. Do đó, hai con đường trên vuông góc với nhau.

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm $A\left( {1;0; - 1} \right)$, đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm $B\left( {3; - 1;0} \right)$

Vì $\frac{2}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 1}}{1}$ nên $\overrightarrow {{u_1}}$ không cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\1&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&{ - 1}\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 4; - 5;1} \right) \ne \overrightarrow 0$, $\overrightarrow {AB} \left( {2; - 1;1} \right)$

Vì $\overrightarrow {AB} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( { - 4} \right).2 + \left( { - 5} \right).\left( { - 1} \right) + 1.1 = - 2 \ne 0$ nên ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.

Do đó, nút giao thông trên là nút giao thông khác mức.