Bài tập 5.2 trang 39 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’, với $A\left( {1; - 1;3} \right), B\left( {0;2;4} \right),$\(D\left( {2; -...

Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, với $A\left( {1; - 1;3} \right),B\left( {0;2;4} \right),$$D\left( {2; - 1;1} \right),A’\left( {0;1;2} \right)$.

a) Tìm tọa độ các điểm C, B’, D’.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB’D’).

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng để viết: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi ba điểm không thẳng hàng A, B, C có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$

+ Tìm vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua A và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n$.

a) $\overrightarrow {AB} \left( { - 1;3;1} \right),\overrightarrow {AA’} \left( { - 1;2; - 1} \right)$

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp nên

+) $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A’B’} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B’}} - {x_{A’}} = - 1\\{y_{B’}} - {y_{A’}} = 3\\{z_{B’}} - {z_{A’}} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{B’}} = - 1 + {x_{A’}} = - 1 + 0 = - 1\\{y_{B’}} = 3 + {y_{A’}} = 3 + 1 = 4\\{z_{B’}} = 1 + {z_{A’}} = 1 + 2 = 3\end{array} \right. \Rightarrow B’\left( { - 1;4;3} \right)$

+) $\overrightarrow {AA’} = \overrightarrow {DD’} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D’}} - {x_D} = - 1\\{y_{D’}} - {y_D} = 2\\{z_{D’}} - {z_D} = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{D’}} = - 1 + {x_D} = 1\\{y_{D’}} = 2 + {y_D} = 1\\{z_{D’}} = - 1 + {z_D} = 0\end{array} \right. \Rightarrow D’\left( {1;1;0} \right)$

+) $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = {x_C} - {x_D}\\3 = {y_C} - {y_D}\\1 = {z_C} - {z_D}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 1 + {x_D} = - 1 + 2 = 1\\{y_C} = 3 + {y_D} = 3 - 1 = 2\\{z_C} = 1 + {z_D} = 1 + 1 = 2\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;2;2} \right)$

b) Ta có: $\overrightarrow {CD’} \left( {0; - 1; - 2} \right),\overrightarrow {CB’} \left( { - 2;2;1} \right)$

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {CD’} ,\overrightarrow {CB’} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&0\\1&{ - 2}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}0&{ - 1}\\{ - 2}&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {3;4; - 2} \right)$

Mặt phẳng (CB’D’) đi qua điểm $C\left( {1;2;2} \right)$ và nhận $\left[ {\overrightarrow {CD’} ,\overrightarrow {CB’} } \right] = \left( {3;4; - 2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình mặt phẳng (CB’D’) là:

$3\left( {x - 1} \right) + 4\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 2z - 7 = 0$