Bài tập 5.3 trang 39 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(M\left( {1; - 1...

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm $M\left( {1; - 1;5} \right)$ và vuông góc với hai mặt phẳng $\left( Q \right):3x + 2y - z = 0$, $\left( R \right):x + y - z = 0$.

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_R}} = \left( {1;1; - 1} \right)$

$\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&3\\{ - 1}&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}3&2\\1&1\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 1;2;1} \right)$

Vì (P) vuông góc với hai mặt phẳng (Q) và (R) nên (P) nhận $\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 1;2;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến. Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {1; - 1;5} \right)$ nên phương trình (P) là: $- 1\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y + 1} \right) + 1\left( {z - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow - x + 2y + z - 2 = 0$