Bài tập 5.27 trang 59 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm \(I\left( {0;3...

Trong không gian Oxyz, viết phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I\left( {0;3; - 1} \right)$ và có bán kính bằng khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng $\left( P \right):3x + 2y - z = 0$.

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để viết phương trình mặt cầu: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm $I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)$, bán kính R có phương trình ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}$.

Ta có: $d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {3.0 + 2.3 - 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{7}{{\sqrt {14} }}$ nên bán kính của mặt cầu (S) là $R = \frac{7}{{\sqrt {14} }}$.

Do đó, phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I\left( {0;3; - 1} \right)$ và có bán kính $R = \frac{7}{{\sqrt {14} }}$ là: ${x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = \frac{7}{2}$