Bài tập 5.29 trang 59 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu?...

Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu đó.

a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 5z + 30 = 0\);

b) \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 4x + 2y - 2z = 0\);

c) \({x^3} + {y^3} + {z^3} - 2x + 6y - 9z - 10 = 0\);

d) \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 5 = 0\).

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có thể viết lại thành \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d\) và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0\). Khi đó, (S) có tâm \(I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

a) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 1,b = 0,c = \frac{5}{2},d = 30\).

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {1^2} + {0^2} + {\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} - 30 = \frac{{ - 91}}{4} < 0\). Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.

b) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 2,b = - 1,c = 1,d = 0\).

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {2^2} + {\left( { - 1} \right)^2} + {1^2} - {0^2} = 6 > 0\). Do đó, phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu có tâm \(\left( {2; - 1;1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \).

c) Phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

d) Phương trình đã cho tương ứng với \(a = 0,b = 0,c = 0,d = 5\).

Ta có: \({a^2} + {b^2} + {c^2} - d = {0^2} + {0^2} + {0^2} - {5^2} = - 25 < 0\). Do đó, phương trình đã cho không phải là phương trình của một mặt cầu.