Bài tập 5.4 trang 39 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M\left( {2;3...

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {2;3; - 1} \right)$ song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng $\left( Q \right):x + 2y - 3z + 1 = 0$.

Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {2;3; - 1} \right)$ song song với trục Ox và vuông góc với mặt phẳng (Q).

Ta có: $\overrightarrow {{n_Q}} \left( {1;2; - 3} \right)$, trục Ox có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {1;0;0} \right)$.

$\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 3}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 3}&1\\0&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0; - 3; - 2} \right)$

Vì (P) song song với trục Ox và vuông góc với (Q) nên (P) nhận $\left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow {{n_1}} } \right] = \left( {0; - 3; - 2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mà (P) là mặt phẳng đi qua điểm $M\left( {2;3; - 1} \right)$ nên phương trình (P) là:

$0\left( {x - 2} \right) - 3\left( {y - 3} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3y + 2z - 7 = 0$