Bài tập 5.43 trang 62 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {1;0;2} \right)$ và hai đường thẳng d...

Trong không gian Oxyz, cho điểm $A\left( {1;0;2} \right)$ và hai đường thẳng d: $\frac{x}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{z}{2}$, $d’:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}$.

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d’.

b) Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

a) Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để tìm vị trí tương đối của hai đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt đi qua các điểm ${A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$. Khi đó:

${\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1}\not \in {\Delta _2}$

${\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1} \in {\Delta _2}$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.$

b) Sử dụng kiến thức về phương trình tham số của đường thẳng để viết phương trình tham số đường thẳng: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$. Hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + at\\y = {y_0} + bt\\z = {z_0} + ct\end{array} \right.$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ (t là tham số, $t \in \mathbb{R}$).

c) Sử dụng kiến thức về lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương: Trong không gian Oxyz, bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm M và biết cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ có thể thực hiện theo các bước sau:

+ Tìm vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

+ Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua M và biết vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

d) + Viết phương trình mặt phẳng (Oxz).

+ Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

+ Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (Oxz) theo t.

+ Thay tọa độ tính theo t vào phương trình mặt phẳng (Oxz) tìm t.

+ Tìm lại tọa độ giao điểm.

a) Đường thẳng d nhận $\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $C\left( {0;1;0} \right).$

Đường thẳng d’ nhận $\overrightarrow {{u_2}} \left( {2;2; - 1} \right)$ làm một vectơ chỉ phương và đi qua điểm $B\left( { - 1; - {\rm{2}};3} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {CB} \left( { - 1; - 3;3} \right),$ $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&2\\2&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&2\\2&2\end{array}} \right|} \right) = \left( { - 6;5; - 2} \right) \ne \overrightarrow 0$

Vì $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {CB} = \left( { - 6} \right).\left( { - 1} \right) + 5.\left( { - 3} \right) + \left( { - 2} \right).3 = 6 - 15 - 6 = - 15 \ne 0$ nên d, d’ chéo nhau.

b) Đường đường thẳng $\Delta$ đi qua A và nhận $\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)$ làm một vectơ chỉ phương nên phương trình tham số đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.$

c) Vì $\frac{1}{1} \ne \frac{{0 - 1}}{2}$ nên điểm $A\left( {1;0;2} \right)$ không thuộc đường thẳng d. $C\left( {0;1;0} \right).$$\overrightarrow {{u_1}} \left( {1;2;2} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {AC} \left( { - 1;1; - 2} \right)$, $\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 2}\\2&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&{ - 1}\\2&1\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&1\\1&2\end{array}} \right|} \right) = \left( {6;0; - 3} \right)$

Mặt phẳng (P) đi qua $A\left( {1;0;2} \right)$ và nhận $\frac{1}{3}\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {2;0; - 1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng (P) là: $2\left( {x - 1} \right) - \left( {z - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - z = 0$

d) Phương trình mặt phẳng (Oxz) là: $y = 0$

Phương trình tham số của đường thẳng (d) là: $\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 1 + 2t\\z = 2t\end{array} \right.$. Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là $\left( {t;1 + 2t;2t} \right)$.

Thay $x = t,y = 1 + 2t,z = 2t$ vào phương trình mặt phẳng (Oxz) ta có: $1 + 2t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 1}}{2}$

Do đó, giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là: $\left( {\frac{{ - 1}}{2};0; - 1} \right)$.