Câu hỏi trang 58 Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức: Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến...

Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo đến vị trí B: ${45^o}N,{30^o}E$.

Sử dụng kiến thức về xác định tọa độ của các điểm trên bề mặt Trái Đất để tính: Nếu vị trí P có vĩ độ, kinh độ tương ứng là ${\alpha ^o}N,{\beta ^o}E\left( {0 < \alpha < 90,0 < \beta < 180} \right)$ thì tọa độ của P là $P\left( {\cos {\alpha ^o}\cos {\beta ^o},\cos {\alpha ^o}\sin {\beta ^o},\sin {\alpha ^o}} \right)$.

Vì A là giao giữa kinh tuyến gốc với xích đạo nên $A\left( {1;0;0} \right)$, do đó $\overrightarrow {OA} \left( {1;0;0} \right)$.

Ta có: $B\left( {\cos {{45}^o}\cos {{30}^o},\cos {{45}^o}\sin {{30}^o},\sin {{45}^o}} \right)$ nên $\overrightarrow {OB} \left( {\frac{{\sqrt 6 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{4};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)$, $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}$

Vì A, B thuộc mặt đất nên $\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = \left| {\overrightarrow {OB} } \right| = 1$

Do đó, $\cos \widehat {AOB} = \frac{{\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }}{{\left| {\overrightarrow {OA} } \right|.\left| {\overrightarrow {OB} } \right|}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4} \Rightarrow \widehat {AOB} \approx 52,{2388^o}$

Mặt khác, đường tròn tâm O, đi qua A, B bán kính 1 và chu vi là $2\pi \approx 6,2832$ nên cung nhỏ AB của đường tròn có độ dài xấp xỉ bằng $\frac{{52,2388}}{{360}}.6,2832 \approx 0,9117$

Do 1 đơn vị độ dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6 371km trên thực tế, nên khoảng cách giữa hai vị trí A, B xấp xỉ bằng $0,9117.6\;371 = 5\;808,4407\left( {km} \right)$