Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 5y + 6z + \frac{{25}}{4} = 0$. Xác định tâm...

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

${x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 5y + 6z + \frac{{25}}{4} = 0$.

Xác định tâm, tính bán kính của (S).

Sử dụng kiến thức về phương trình mặt cầu để tính: Với a, b, c, d là các hằng số, phương trình ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0$ có thể viết lại thành ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - d$ và là phương trình của một mặt cầu (S) khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} + {c^2} - d > 0$. Khi đó, (S) có tâm $I\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)$ và bán kính $R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}$.

Phương trình mặt cầu (S) đã cho tương ứng với $a = - 2;b = \frac{5}{2};c = - 3,d = \frac{{25}}{4}$

Nên mặt cầu (S) có tâm $I\left( { - 2;\frac{5}{2}; - 3} \right)$, bán kính $R = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}} = \sqrt {13}$