Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}, {\Delta _2}$ lần lượt đi qua các điểm \({A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right), {A_2}\left( {{x_2};{y_2}...

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt đi qua các điểm ${A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$. (H.5.29).

a) Tìm điều kiện đối với $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ để ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song hoặc trùng nhau.

b) Giả sử $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0$ thì ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có cắt nhau hay không?

c) Giả sử $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0$ thì ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có chéo nhau hay không?

Sử dụng kiến thức về giá của vectơ trong không gian để tìm chứng minh: Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ được gọi là giá của vectơ.

a) Để ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song hoặc trùng nhau thì giá của hai vectơ $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ song song hoặc trùng nhau. Suy ra, $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương.

b) Vì $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0$ mà $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0$ nên $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} = \overrightarrow 0$, suy ra ${A_1}$ trùng ${A_2}$. Do đó, ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau.

c) Vì $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0$ nên $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0$ và $\overrightarrow {{A_1}{A_2}} \ne \overrightarrow 0$ nên ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau.