Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}: \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}$ và \({\Delta _2}...

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 3}}{4}$ và ${\Delta _2}:\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{z}{4}$. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ song song với nhau;

b) Đường thẳng ${\Delta _1}$ và trục Ox chéo nhau;

c) Đường thẳng ${\Delta _2}$ trùng với đường thẳng ${\Delta _3}:\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z + 4}}{4}$;

d) Đường thẳng ${\Delta _2}$ cắt trục Oz.

Sử dụng kiến thức về vị trí tương đối của hai đường thẳng để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ lần lượt đi qua các điểm ${A_1}\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right),{A_2}\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$ và tương ứng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{a_1};{b_1};{c_1}} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {{a_2};{b_2};{c_2}} \right)$. Khi đó:

${\Delta _1}//{\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1}\not \in {\Delta _2}$

${\Delta _1} \equiv {\Delta _2} \Leftrightarrow$ $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$ và ${A_1} \in {\Delta _2}$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ chéo nhau $\Leftrightarrow \overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne 0$

${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] \ne \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {{A_1}{A_2}} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = 0\end{array} \right.$

Đường thẳng ${\Delta _1}$ đi qua điểm ${A_1}\left( {1; - 2;3} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;1;4} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$ đi qua điểm ${A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;4} \right)$.

a) Vì $\overrightarrow {{u_1}} = \overrightarrow {{u_2}}$ nên $\overrightarrow {{u_1}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$.

Lại có: $\frac{{1 + 1}}{1} \ne \frac{{ - 2 + 1}}{1}$ nên điểm ${A_1}\left( {1; - 2;3} \right)$ không thuộc đường thẳng ${\Delta _2}$.

Do đó, hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ song song với nhau.

b) Trục Ox có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ và đi qua điểm O(0;0;0).

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\1&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {0;4; - 1} \right)$, $\overrightarrow {{A_1}O} \left( { - 1;2; - 3} \right)$

Vì $\overrightarrow {{A_1}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow i } \right] = - 1.0 + 2.4 - 3.\left( { - 1} \right) = 11 \ne 0$ nên ${\Delta _1}$ và Ox chéo nhau.

c) Đường thẳng ${\Delta _3}$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1;1;4} \right)$.

Vì $\overrightarrow {{u_3}} = \overrightarrow {{u_2}}$ nên $\overrightarrow {{u_3}}$ cùng phương với $\overrightarrow {{u_2}}$.

Lại có: $\frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{ - 1 + 2}}{1} = \frac{{0 + 4}}{4}$ nên điểm ${A_2}\left( { - 1; - 1;0} \right)$ thuộc đường thẳng ${\Delta _3}$.

Do đó, đường thẳng ${\Delta _2}$ trùng với đường thẳng ${\Delta _3}$.

d) Trục Oz có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$ và đi qua điểm O(0;0;0)

Ta có: $\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&4\\0&1\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}4&1\\1&0\end{array}} \right|,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\0&0\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 1;0} \right)$, $\overrightarrow {{A_2}O} \left( {1;1;0} \right)$

Vì $\overrightarrow {{A_2}O} .\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = 1.1 - 1.1 - 0.0 = 0$ và $\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right) \ne \overrightarrow 0$ nên ${\Delta _2}$ cắt trục Oz.