Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\ u$, $\ v$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P)...

Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow u$, $\overrightarrow v$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P).

a) Vectơ $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ có khác vectơ-không và giá của nó có vuông góc với cả hai giá của $\overrightarrow u$, $\overrightarrow v$ hay không?

b) Mặt phẳng (P) có nhận $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến hay không?

Sử dụng kiến thức về tích có hướng của hai vectơ để chứng minh: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {a;b;c} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {a’;b’;c’} \right)$. Khi đó, vectơ $\overrightarrow n = \left( {bc’ - b’c;ca’ - c’a;ab’ - a’b} \right)$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, được gọi là tích có hướng của $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$, kí hiệu là $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$.

Sử dụng kiến thức về vectơ pháp tuyến của mặt phẳng để chứng minh: Vectơ $\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ nếu giá của $\overrightarrow n$ vuông góc với $\left( \alpha \right)$.

a) Vectơ $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ có khác vectơ-không và giá của $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$vuông góc với cả hai giá của $\overrightarrow u$, $\overrightarrow v$ nếu hai vectơ $\overrightarrow u$, $\overrightarrow v$ không cùng phương.

b) Vì hai vectơ $\overrightarrow u$, $\overrightarrow v$ không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với mặt phẳng (P), mà vectơ $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ có giá vuông góc với cả hai giá của $\overrightarrow u$, $\overrightarrow v$ nên giá của vectơ $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ vuông góc với mặt phẳng (P). Suy ra, mặt phẳng (P) nhận $\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right]$ làm một vectơ pháp tuyến.